Растяжение (сжатие) – это вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила N.

При растяжении и сжатии внешние силы приложены вдоль продольной оси z (рисунок 109).

Рисунок 109

Применяя метод сечений, можно определить величину ВСФ – продольную силу N при простом нагружении .

Внутренние силы (напряжения), возникающие в произвольном поперечном сечении при растяжении (сжатии), определяются с помощью гипотезы плоских сечений Бернулли:

Сечение бруса, плоское и перпендикулярное оси до нагружения, остается таким же и при нагружении.

Отсюда следует, что волокна бруса (рисунок 110) удлиняются на одинаковые величины. Значит внутренние силы (т.е. напряжения), действующие на каждое волокно будут одинаковы и распределены по сечению равномерно.

Рисунок 110

Так как N – равнодействующая внутренних сил, то N = σ · А, згачит нормальные напряжения σ при растяжении и сжатии определяются по формуле:

[Н/мм 2 = МПа], (72)

где А – площадь поперечного сечения.

Пример 24. Два стержня: круглого сечения диаметром d = 4 мм и квадратного сечения со стороной 5 мм растягиваются одинаковой силой F = 1000 Н. Какой из стержней больше нагружен?

Дано : d = 4 мм; а = 5 мм; F = 1000 Н.

Определить : σ 1 и σ 2 – в стержнях 1 и 2.

Решение :

При растяжении продольная сила в стержнях N = F = 1000 Н.

Площади поперечных сечений стержней:

; .

Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержней:

, .

Так как σ 1 > σ 2 , то первый стержень круглого сечения нагружен больше.

Пример 25. Трос, свитый из 80 проволочек диаметром 2 мм растягивается силой 5 кН. Определить напряжение в поперечном сечении.

Дано: к = 80; d = 2 мм; F = 5 кН.

Определить: σ.

Решение:

N = F = 5 кН, ,

тогда .

Здесь А 1 – площадь сечения одной проволочки.

Примечание : сечение троса – не круг!

2.2.2 Эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ по длине бруса

Для расчетов на прочность и жесткость сложно нагруженного бруса при растяжении и сжатии необходимо знать значения N и σ в различных поперечных сечениях.

Для этого строятся эпюры: эпюра N и эпюра σ.

Эпюра – это график изменения продольной силы N и нормальных напряжений σ по длине бруса.

Продольная сила N в произвольном поперечном сечении бруса равна алгебраической сумме всех внешних сил, приложенных к оставшейся части, т.е. по одну сторону от сечения

Внешние силы F, растягивающие брус и направленные в сторону от сечения, считаются положительными.

Порядок построения эпюр N и σ

1 Поперечными сечениями разбиваем брус на участки, границами которых являются:

а) сечения на концах бруса;

б) где приложены силы F;

в) где меняется площадь сечения А.

2 Нумеруем участки, начиная со

свободного конца.

3 Для каждого участка, используя метод

сечений определяем продольную силу N

и строим в масштабе эпюру N.

4 Определяем нормальное напряжение σ

на каждом участке и строим в

масштабе эпюру σ.

Пример 26. Построить эпюры N и σ по длине ступенчатого бруса (рисунок 111).

Дано: F 1 = 10 кН; F 2 = 35 кН; А 1 = 1 см 2 ; А 2 = 2 см 2 .

Решение:

1) Разбиваем брус на участки, границами которых являются: сечения на концах бруса, где приложены внешние силы F, где меняется площадь сечении А – всего получилось 4 участка.

2) Нумеруем участки, начиная со свободного конца:

с I по IV. Рисунок 111

3) Для каждого участка, используя метод сечений, определяем продольную силу N.

Продольная сила N равна алгебраической сумме всех внешних сил, приложенных к оставшейся части бруса . Причем внешние силы F, растягивающие брус считаются положительными.

Таблица 13

4) Строим в масштабе эпюру N. Масштаб указываем только положительными величинами N, на эпюре знак «плюс» или «минус» (растяжение или сжатие) указывается в кружочке в прямоугольнике эпюры. Положительные величины N откладываются выше нулевой оси эпюры, отрицательные – ниже оси.

5) Проверка (устная): В сечениях, где приложены внешние силы F, на эпюре N будут вертикальные скачки, равные по величине этим силам.

6) Определяем нормальные напряжения в сечениях каждого участка :

; ;

; .

Строим в масштабе эпюру σ.

7) Проверка: Знаки N и σ одинаковы.

Подумай и ответь на вопросы

1) нельзя; 2) можно.

53 Зависят ли напряжения при растяжении (сжатии) стержней от формы их поперечного сечения (квадрат, прямоугольник, круг и др.)?

1) зависят; 2) не зависят.

54 Зависит ли величина напряжения в поперечном сечении от материала, из которого изготовлен стержень?

1) зависит; 2) не зависит.

55 Какие точки поперечного сечения круглого стержня нагружены больше при растяжении?

1) на оси бруса; 2) на поверхности круга;

3) во всех точках сечения напряжения одинаковы.

56 Стержни из стали и дерева с равной площадью поперечного сечения растягиваются одинаковыми силами. Будут ли равны возникающие в стержнях напряжения?

1) в стальном напряжение больше;

2) в деревянном напряжение больше;

3) в стержнях возникнут равные напряжения.

57 Для бруса (рисунок 112) построить эпюры N и σ, если F 1 = 2 кН; F 2 = 5 кН; А 1 = 1,2 см 2 ; А 2 = 1,4 см 2 .

Если при прямом или косом изгибе в поперечном сечении бруса действует только изгибающий момент, то соответственно имеется чистый прямой или чистый косой изгиб. Если в поперечном сечении действует также и поперечная сила, то имеется поперечный прямой или поперечный косой изгиб. Если изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называетсячистым (рис.6.2). При наличии поперечной силы изгиб называется поперечным . Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; попереч­ный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве слу­чаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на проч­ность можно пренебречь. Смотрите условие прочности при плоском изгибе. ри расчете балки на изгиб одной из важнейших является задача определения еепрочности. Плоский изгиб называется поперечным, если в поперечных сеченияхбалкивозникает двавнутренних силовых фактора: М – изгибающий момент и Q – поперечная сила, и чистым, если возникает только М. В поперечном изгибе силовая плоскость проходит через ось симметрии балки, являющейся одной из главных осей инерции сечения.

При изгибе балки одни слои ее растягиваются, другие сжимаются. Между ними находится нейтральный слой, который лишь искривляется, не изменяя при этом своей длины. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения совпадает со второй главной осью инерции и называется нейтральной линией (нейтральной осью).

От действия изгибающего момента в поперечных сечениях балки возникают нормальные напряжения, определяемые по формуле

где М – изгибающий момент в рассматриваемом сечении;

I – момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси;

у – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой определяются напряжения.

Как видно из формулы (8.1), нормальные напряжения в сечении балки по ее высоте линейны, достигая максимального значения в наиболее удаленных точках от нейтрального слоя.

где W – момент сопротивления поперечного сечения балки относитель¬но нейтральной оси.

27.Касательные напряжения в поперечном сечении балки. Формула Журавского.

Формула Журавского позволяет определить касательные напряженияпри изгибе, возникающие в точках поперечного сечении балки, находящиеся на расстоянии отнейтральной осиx.

ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЖУРАВСКОГО

Вырежем из балки прямоугольного поперечного сечения (рис. 7.10, а) элемент длиной и дополнительным продольным сечением рассечем на две части (рис. 7.10, б).

Рассмотрим равновесие верхней части: из-за отличия изгибающих моментов возникают разные сжимающие напряжения. Чтобы эта часть балки находилась в равновесии () в ее продольном сечении должна возникнуть касательная сила. Уравнение равновесия части балки:

где интегрирование ведется только по отсеченной части площади поперечного сечения балки (на рис. 7.10, в заштрихована),– статический момент инерции отсеченной (заштрихованной) части площади поперечного сечения относительно нейтральной оси x.

Предположим: касательные напряжения (), возникающие в продольном сечении балки, равномерно распределены по ее ширине () в месте сечения:

Получим выражение для касательных напряжений:

, а , тогдаформула касательных напряжений (), возникающих в точках поперечного сечения балки, находящихся на расстоянииy от нейтральной оси x:

Формула Журавского

Формула Журавского получена в 1855 г. Д.И. Журавским, поэтому носит его имя.

2.2. Центр тяжести сечения и свойство статического момента

2.3. Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей

2.4. Вычисление моментов инерции простых фигур

2.5. Изменение моментов инерции при повороте координатных осей

2.6. Главные оси и главные моменты инерции

2.7. Свойство моментов инерции относительно осей симметрии

2.8. Свойство моментов инерции правильных фигур относительно центральных осей

2.9. Вычисление моментов инерции сложных фигур

2.10. Примеры определения главных центральных осей и главных моментов инерции сечений

Вопросы для самопроверки

3.1. Основные понятия

3.2. Дифференциальные уравнения равновесия материальной частицы тела в случае плоской задачи

3.3. Исследование напряженного состояния в данной точке тела

3.4. Главные площадки и главные напряжения

3.5. Экстремальные касательные напряжения

3.6. Понятие об объёмном напряженном состоянии

3.6.1. Главные напряжения

3.6.2. Экстремальные касательные напряжения

3.6.3. Напряжения на произвольно наклонённых площадках

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

4.1. Соотношения Коши

4.2. Относительная деформация в произвольном направлении

4.3. Аналогия между зависимостями для напряженного и деформированного состояний в точке

4.4. Объёмная деформация

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

5.1. Закон Гука при растяжении и сжатии

5.2. Коэффициент Пуассона

5.3. Закон Гука при плоском и объёмном напряженных состояниях

5.4. Закон Гука при сдвиге

5.5. Потенциальная энергия упругих деформаций

5.6. Теорема Кастильяно

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

Глава 6. Механические характеристики материалов

6.1. Общие сведения о механических испытаниях материалов

6.2. Машины для испытания материалов

6.3. Образцы для испытания материалов на растяжение

6.6. Влияние температуры и других факторов на механические характеристики материалов

6.7.1. Особенности почвенной среды

6.7.2. Модели механического поведения почв

6.7.3. Образцы и схемы испытаний образцов почв

6.8. Расчетные, предельные, допускаемые напряжения

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

Глава 7. Теории предельного состояния материала

7.1. Основные понятия

7.2. Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности)

7.3. Теория наибольших относительных удлинений (вторая теория прочности)

7.4. Теория наибольших касательных напряжений (третья теория прочности)

7.5. Энергетическая теория (четвёртая теория прочности)

7.6. Теория Мора (феноменологическая теория)

7.8. Теории предельного состояния почв

7.9. Концентрация напряжений и её влияние на прочность при постоянных во времени напряжениях

7.10. Механика хрупкого разрушения

Вопросы для самопроверки

Глава 8. Растяжение и сжатие

8.1. Напряженное состояние в точках бруса

8.1.1. Напряжения в поперечных сечениях

8.1.2. Напряжения в наклонных сечениях

8.2. Перемещения при растяжении (сжатии)

8.2.1. Перемещение точек оси бруса

8.2.2. Перемещения узлов стержневых систем

8.3. Расчеты на прочность

8.4. Потенциальная энергия при растяжении и сжатии

8.5. Статически неопределимые системы

8.5.1. Основные понятия

8.5.2. Определение напряжений в поперечных сечениях бруса, заделанного двумя концами

8.5.5. Расчет статически неопределимых плоских стержневых систем, подверженных действию температуры

8.5.6. Монтажные напряжения в статически неопределимых плоских стержневых системах

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

Глава 9. Сдвиг и кручение

9.1. Практический расчет соединений, работающих на сдвиг

9.1.1. Расчет заклёпочных, штифтовых и болтовых соединений

9.1.2. Расчет сварных соединений на срез

9.2. Кручение

9.2.1. Основные понятия. Крутящие моменты и построение их эпюр

9.2.2. Напряжения и деформации при кручении прямого бруса круглого поперечного сечения

9.2.3. Анализ напряжённого состояния при кручении бруса с круглым поперечным сечением. Главные напряжения и главные площадки

9.2.4. Потенциальная энергия при кручении бруса с круглым поперечным сечением

9.2.5. Расчет бруса круглого поперечного сечения на прочность и жесткость при кручении

9.2.6. Расчет цилиндрических винтовых пружин малого шага

9.2.7. Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля

9.2.8. Кручение прямого бруса некруглого поперечного сечения

9.2.9. Кручение тонкостенного бруса открытого профиля

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

10.1. Общие понятия

10.2. Прямой чистый изгиб. Определение нормальных напряжений

10.3. Касательные напряжения при поперечном изгибе

10.4. Напряжения при изгибе тонкостенных брусьев

10.5. Понятие о центре изгиба

10.6. Анализ напряженного состояния при изгибе

10.7. Проверка прочности брусьев при изгибе

10.8. Рациональная форма поперечных сечений брусьев

10.10. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом непосредственного интегрирования

10.11. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом начальных параметров

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

Приложения

ГЛАВА 9 Сдвиг и кручение

Брус, изображённый на рис. 9.13, имеет четыре участка. Если рассматривать условия равновесия систем сил, приложенных к левой отсеченной части, то можно записать:

Участок 1

a (рис. 9.13, б).

Mx 0 : Mкр m x dx 0 ; Mкр

dx .

Участок 2

a x2

a b (рис. 9.13, в).

Mx 0 : Mкр m x dx M1 0 ; Mкр m x dx M1 .

Участок 3

a b x2

a b c (рис. 9.13, г).

M 0 ;

x dx M .

Участок 4

a b c x2 a b c d .

Mx 0 : Mкр m x dx M1 M2 0 ;

M кр

m x dx M1 M2 .

Таким образом, крутящий момент М кр в поперечном сечении бруса равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения.

9.2.2. Напряжения и деформации при кручении прямого бруса круглого поперечного сечения

Как уже упоминалось, полные касательные напряжения можно было бы определить из зависимости (9.14), если бы был известен закон их распределения по сечению бруса. Невозможность аналитического определения этого закона заставляет обратиться к экспериментальному исследованию деформаций бруса.

В. А. Жилкин

Рассмотрим брус, левый торец которого жестко защемлен, а к правому торцу приложен скручивающий момент М кр . До загружения бруса моментом на его поверхность была нанесена ортогональная сетка с размерами ячеек a×b (рис. 9.14, а). После приложения скручивающего момента М кр правый торец бруса повернётся относительно левого торца бруса на угол, при этом расстояния между сечениями скручиваемого бруса не изменятся, а радиусы, проведённые в торцевом сечении, останутся прямыми, т. е. можно предположить, что гипотеза плоских сечений выполняется (рис. 9.14, б). Сечения, плоские до деформации бруса, остаются плоскими и после деформации, поворачиваясь, как жесткие диски, одно относительно другого на некоторый угол. Так как расстояния между сечениями бруса не изменяется, то продольная относительная деформация x 0 равна нулю. Продольные линии сетки принимают винтообразную форму, но расстояние между ними остаётся постоянным (следовательно, y 0 ), прямоугольные ячейки сетки превращаются в параллелограммы, размеры сторон которых не изменяются, т.е. выделенный элементарный объём любого слоя бруса находится в условиях чистого сдвига.

Вырежем двумя поперечными сечениями элемент бруса длиной dx (рис. 9.15). В результате нагружения бруса правое сечение элемента повернётся относительного левого на угол d . При этом образующая цилиндра повернётся на угол

ГЛАВА 9 Сдвиг и кручение

сдвига. На тот же угол повернутся все образующие внутренних цилиндров радиуса.

Согласно рис. 9.15 дуга

ab dx d .

где d dx – называется относительным углом закручивания. Если размеры поперечных сечений прямого бруса и крутящие моменты, действующие в них, на некотором участке постоянны, то значение также постоянно и равно отношению полного угла закручивания на этом участке к его длине L , т.е. L .

Переходя по закону Гука при сдвиге (G ) к напряжениям, получаем

Итак, в поперечных сечениях бруса при кручении возникают касательные напряжения, направление которых в каждой точке перпендикулярно к радиусу, соединяющему эту точку с центром сечения, а величина прямо пропорциональна

В. А. Жилкин

расстоянию точки от центра. В центре (при 0 ) касательные напряжения равны нулю; в точках, расположенных в непосредственной близости от внешней поверхности бруса, они наибольшие.

Подставляя найденный закон распределения напряжений (9.18) в равенство (9.14), получаем

Mкр G dF G 2 dF G J ,

где J d 4 – полярный момент инерции круглого попереч-

ного сечения бруса.

Произведение GJ

называется жесткостью поперечно-

го сечения бруса при кручении.

Единицами измерения жесткости явля-

ются Н·м2 , кН·м2 и т.д.

Из (9.19) находим относительный угол закручивания бруса

M кр

а затем, исключая из равенства (9.18), получаем формулу

для напряжений при кручении бруса круглого сечения

M кр

Наибольшего значения напряжения достигают в кон-

турных точках сечения при d 2 :

M кр

M кр

M кр

называют моментом сопротивления кручению вала круглого поперечного сечения.

Размерность момента сопротивления кручению – см3 , м3 и т. д.

что позволяет определить угол закручивания всего бруса

	GJ кр .

Если брус имеет несколько участков с различными аналитическими выражениями для М кр или различными значениями жесткости поперечных сечений GJ , то

			Mкр dx

Для бруса длиной L постоянного сечения, нагруженного по концам сосредоточенными парами сил с моментом М кр ,

D и внутренним d . Только в этом случае J и W кр надо

вычислять по формулам

		Mкр L

		1 c 4 ; W кр		1 c 4 ; c

Эпюра касательных напряжений в сечении полого бруса приведена на рис. 9.17.

Сравнение эпюр касательных напряжений в сплошном и полом брусе указывает на преимущества полых валов, так как в таких валах материал используется более рационально (убран материал в области действия малых напряжений). В результате распределение напряжений по сечению становится более равномерным, а сам брус более легким,

чем равнопрочный ему брус сплош- Рис. 9.17 ного сечения, несмотря на некото-

рое увеличение наружного диаметра.

Но при проектировании брусьев, работающих на кручение, следует учитывать,что в случае кольцевого сечения их изготовление сложнее, а значит, и дороже.